1. In un liquido omogeneo, indefinito (praticamente abbastanza esteso in tutte le direzioni), si abbia un numero qualunque di corpi C , C' , C'' , ... , i quali subiscano rapide variazioni di forma, od anche solo di posizione, tali che il fenomeno presenti, nel suo insieme, un periodo q piccolissimo.

Quando siano verificate certe condizioni che accenno più avanti, avviene che, per ogni corpo, la forza risultante delle pressioni che il liquido esercita sugli elementi della sua superficie ha, in un intervallo di tempo multiplo di q , un valor medio corrispondente all'attrazione che su quel corpo eserciterebbero gli altri, se i corpi del sistema possedessero certe masse m , m' , m'', le quali si attraessero secondo la legge di Newton.

Questo interessante fenomeno, ed altri analoghi, furono per la prima volta studiati, in casi particolari, sia dal lato matematico, sia sperimentalmente, dal prof. C.A. Bjerknes. L'argomento è stato poi ripreso, ed ampiamente svolto in un suo corso di lezioni, dal figlio prof. V. Bjerknes(1).

I procedimenti analitici da me seguiti in altra Nota(2), permettono di arrivare al risultato nel modo più semplice e generale.

2. Supporremo che nel movimento indotto nel liquido la velocità sia ovunque continua, derivi da un potenziale j , e si annulli all' infinito; che i pesi delle particelle liquide siano trascurabili; che la densità sia uguale ad 1 .

Denotiamo con (F) la forza che al tempo t agisce sopra un corpo C del sistema. Essa può decomporsi (Nota preced.) in due forze (F₀) ed (F) . Le proiezioni X₀ , Y₀ , Z₀ sopra gli assi coordinati della forza (F₀) sono derivate esatte rispetto al tempo di funzioni periodiche col periodo q : onde il valore medio (in un intervallo multiplo di q ) della forza stessa - vale a dire la forza che ha per proiezioni i valori medii di X₀ , Y₀ , Z₀ - è nullo. Noi trascureremo questa forza (F₀) .

Le proiezioni della forza (F) sono

X =  ,

ecc., rappresentando s la superficie del corpo, ed a , b , g i coseni della normale esterna(3).

Il potenziale di velocità j presenta, in ogni istante, tutti i caratteri del potenziale newtoniano di masse m , m ' , m '' , ... distribuite negli spazi S , S' , S'' , ... occupati dai corpi. Infinite distribuzioni dànno luogo, nello spazio esterno, allo stesso potenziale j : noi supporremo di fissarne una. Verremo così a definire la funzione j anche negli spaz! S , S', S'' , ... Supporremo che essa risulti, in ciascuno di questi spazi, finita e continua insieme alle sue derivate prime e seconde. Attraversando le superficie dei corpi, la funzione j e le sue derivate prime non dovranno subire discontinuità. La densità r relativa a questa distribuzione di masse ideali sarà:

r =   .

Ciò posto, trasformiamo, nella espressione di X , l'integrale esteso a s in un integrale esteso allo spazio S limitato da s . Otterremo:

X = - .

Poniamo

X₁ =  , Y₁ =  , Z₁ =  ,

e teniamo conto della espressione di r . Avremo:

X = 

e, analogamente,

Y =  ,  Z =  .

Queste formule possiamo interpretarle dicendo che la forza (F) relativa al corpo C è, in ogni istante, quella stessa che si avrebbe se le masse r dS si attraessero secondo la legge di Newton, e la costante dell'attrazione fosse uguale a 4p .

Parimente si potrebbe dimostrare che i momenti rispetto agli assi coordinati delle pressioni esercitate dal liquido sugli elementi di s sono uguali ai momenti delle forze 4p X₁r dS , ecc.

3. Supponiamo, ora, che le mutue distanze fra i corpi C , C' , C'' , ... siano grandissime rispetto alle loro dimensioni lineari. Denoti P un punto fisso, che si trovi costantemente nello spazio S occupato da C . Così per gli altri corpi C' , C'' , ... , consideriamo i punti fissi P' , P'' , ...

Nelle formule precedenti noi possiamo ritenere che X₁ , Y₁ , Z₁ siano le derivate del potenziale j , dovuto alle sole masse esterne m ' , m '' , ... (la resultante delle mutue azioni che si esercitano tra le masse elementari r dS di uno stesso corpo essendo identicamente nulla). Invece di X₁ , Y₁ , Z₁ scriviamo X₁ + d X₁ , Y₁ + d Y₁ , Z₁ + d Z₁ , intendendo ora che X₁ , Y₁ , Z₁ siano le derivate, nel punto P , del potenziale j , calcolato come se le masse m ' , m '' , ... fossero concentrate nei punti P', P'' , ... Ponendo

d X =  , ecc.,

avremo: X = 4p X₁m + d X , ecc. Ammettiamo che la forza di componenti d X , d Y , d Z sia trascurabile rispetto alla forza di componenti 4p X₁m   , 4p Y₁m ,  4p Z₁m (ciò che potrà non avvenire; per es., se m = 0). Potremo allora ritenere X = 4p X₁m , ecc. Onde, detta  r  la distanza costante PP' , e posto

f = 4p

la forza (F) risu1terà, in ogni istante, dall'attrazione (f) dovuta al corpo C' , e delle altre analoghe dovute agli altri corpi.

Le masse m , m ' , ... si possono esprimere molto semplicemente mediante i volumi S , S' , ... dei corpi corrispondenti. Si ha infatti:

m =  .

E poichè  è uguale alla componente, secondo la normale esterna, della velocità di un punto di s , se diciamo ora dS l'incremento che subisce, nel tempo dt , il volume S , sarà

ds = dt  ,

e, perciò,

m =  .

Analogamente sarà m ' =  . Onde, ponendo

q =  ,

avremo

f =  :
 
 

dalle quali formule vediamo che se in un certo istante i volumi S , S' sono ambedue crescenti od ambedue decrescenti, e quindi q > 0 , la forza (f) è realmente un'attrazione; altrimenti, è una ripulsione.

4. Il valor medio (F') della forza (F) , quindi ancora della forza (F) , in un intervallo multiplo di q , o uguale a q , sarà la risultante della forza (f') di grandezza

f' =  ,

ove q' è il valore medio di q , e delle analoghe relative agli altri corpi. Avremo dunque:

q' =  =  .

Facciamo ora un'ipotesi più particolare intorno al modo di variare dei volumi S , S' , ecc.: supponiamo cioè che si abbia

S = S₀(1+he ) , ecc.,

ove S₀ ed h rappresentano due quantità costanti per il corpo C , e una funzione del tempo, periodica con periodo q , uguale per tutti i corpi. Se poniamo

m = hS₀ , m' = hS' , sarà:  = m ,  = m' . E, perciò,

q' =  ;

quindi

f' = k ,

essendo

k =  .

In questo caso, dunque, attribuito alla costante dell'attrazione il valore dato dall'ultima formula, si ha una perfetta analogia tra la forza (F') e le attrazioni newtoniane delle masse ideali (costanti) m , m' , ...

5. Nella formula S = S₀(1+he ) , noi possiamo sostituire ad e una funzione lineare di e , con che verranno solo a variare le costanti S₀ ed h . Potremo allora fare in modo che il massimo e il minimo valore della funzione periodica e siano +1 e -1 . Diciamo S₁ ed S₂ i valori corrispondenti di S (notando che, se la costante h è negativa, S₁ rappresenterà il valor minimo di S ). Si avrà S₁ - S₂ = 2hS₀ = 2m ; quindi

m =  (S₁ - S₂) .

Le masse m vengono così ad essere le semi-differenze fra i valori estremi dei volumi dei corpi.

Quanto alla costante k , osserviamo che, se s'introduce la variabile t =  , si ha

dt =  ,  =  ,

k =  .

Di qui vediamo che per una determinata funzione e (t ) (per esempio, se

e = sen 2p t = sen 2p ) la costante dell'attrazione è inversamente proporzionale al quadrato del periodo.
 
 

(1) Fields of force, Columbia University Press. New-York, 1906. Vedasi anche la Memoria di W. Voigt, Beiträge zur Hydrodynamik, Gött. Nachr., a. 1891.

[NdR - A proposito della relazione tra i Bjerknes qui citati, e il C.J. Bjerknes autore sia di due articoli in questa sezione di Episteme, sia del libro presentato nell'apposita rubrica della I Parte, si veda appunto la detta recensione.]

(2) Sopra le azioni le quali si esercitano fra corpi che si muovono o si deformano entro una massa liquida, Rendiconti della R. Accad. dei Lincei, dicembre 1913. [Riporteremo tra breve qui di seguito il paragrafo introduttivo di questo lavoro.]

(3) Nella Nota preced. le X ed X₀ di questa Nota sono chiamate X₁ ed X₂ ; la quantità sotto il segno d'integrazione nella espressione di X ( X₁ ) è denotata con -H . La espressione di H è data a pag. 537.
 

Questo lavoro è stato pubblicato nei Rendiconti della Reale Accademia dei Lincei, 1914, Vol. XXIII, 1° Sem., pp. 287-291.
 

Riteniamo al solito di fare cosa utile ai lettori offrendo loro il paragrafo introduttivo dell'articolo di cui alla precedente Nota 2, che apparve sempre sui Rendiconti della Reale Accademia dei Lincei, 1913, Vol. XXII, 2° Sem., pp. 533-544.

Meccanica. - Sopra le azioni le quali si esercitano fra corpi che si muovono o si deformano entro una massa liquida. Nota del Corrisp. E. ALMANSI.

1. È noto che due sfere immerse in una massa liquida sufficientemente estesa in tutte le direzioni, aventi i loro centri in due punti fissi dello spazio, e raggi periodicamente variabili intorno ad un valor medio, al quale si conservino sempre vicinissimi, esercitano una su l'altra un'azione attrattiva o repulsiva, secondochè le loro pulsazioni hanno la medesima fase, o fase opposta.

Parimente, se, restando costanti i raggi delle sfere, i centri si spostano sopra una retta, oscillando intorno a due punti fissi, le due sfere si attraggono o si respingono a seconda che i loro centri hanno, in ogni istante, velocità rivolte in senso contrario, o nello stesso senso.

La trattazione analitica dei problemi di questo tipo, pur supponendo, come io supporrò, irrotazionale il movimento del liquido, e trascurabili le forze di massa, incontra difficoltà le quali, fatta eccezione per un numero limitatissimo di casi (tra cui quelli accennati), sono da ritersi insormontabili.

Se però ci si contenta di determinare i caratteri generali del fenomeno, di stabilire, per esempio, se fra due corpi, in date condizioni di movimento, si esercitano azioni attrattive o repulsive, rinunziando alla loro valutazione quantitativa, si arriva con facilità, in tutti quei casi che più interessano, allo scopo prefisso.

È appunto la trattazione del problema così ridotto quella che io qui mi propongo(1).

[...]
 
 

(1) Sul problema delle sfere pulsanti o oscillanti, ved. W. Voigt, Beiträge zur Hydrodynamik, Gött. Nachr., a. 1891.