Facciamo adesso un passo sostanzialmente indietro, cioè ritorniamo a un livello più semplice, mostrando come si possa pervenire a definire il concetto di numero reale nell'unico modo naturale, facendo cioè ricorso all'intuizione geometrica. Essa è stata "descritta" da Euclide, Hilbert, etc., ma mai in modo al tempo stesso "completo" e "adeguato". Scontata tale osservazione nel caso di Euclide (per entrambe le specificazioni: quanto alla completezza non si stenta a crederlo, ma troviamo non adeguata per esempio la sua enunciazione del V postulato), vedremo nel paragrafo 7 in che senso la riteniamo pertinente anche per Hilbert.

Utilizziamo il verbo descrivere perché (sarà ormai chiaro) per noi i "postulati", o gli "assiomi" (si tende oggi a non distinguere tra i due termini, o non si riesce a farlo come si converrebbe), sono semplicemente, almeno in un primo momento (cfr. ciò che se ne dirà in sede di conclusione), asserti "elementari" relativi a proprietà di enti concepiti in maniera "chiara e distinta" nel nostro pensiero. Un'eco della filosofia cartesiana ci sta bene, e del resto essa era presente nella definizione di insieme fornita da Cantor, circostanza di solito non messa in luce come si dovrebbe (infatti, vi si fa ricorso al principio delle idee chiare e distinte di Cartesio, e non a criteri linguistici, o formali):

"Unter einer "Menge" verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m uns[e]rer Anschauung oder unseres Denkens (welche die "Elemente" von M genannt werden) zu einem Ganzen".

Quanti punti ci sono sulla retta dipende quindi per esempio da quanti noi siamo in grado, o "costretti", a percepirne, spesso non immediatamente, ma in seguito a ragionamento (intervento di "giudizi analitici"), in conseguenza cioè di altre proprietà che si presentano assolutamente "necessarie" alla descrizione dell'ente quale esso "appare".

Veniamo adesso all'annunciata questione centrale di questa sezione, la costruzione geometrica dei numeri reali. Il punto di partenza è la retta ordinaria R, che adesso non sarà neppure necessario supporre orientata. Si introduce quindi l'insieme Seg(R) dei segmenti di R, i sottoinsiemi individuati da un'arbitraria coppia (non ordinata) di punti distinti, che si chiamano estremi del segmento. I segmenti sono sottoinsiemi della retta che, in quanto alla loro "natura", sono concepiti "rigidi", ma il termine non deve indurre in equivoco: non c'è nessun riferimento alla "realtà materiale", quella di cui si sta parlando è una "realtà ideale". Essi, come i punti, non sono manifestamente dei "numeri", sebbene si possano sempre "confrontare" tra loro, e in qualche caso (segmenti contigui, cioè con un solo vertice comune) "sommare". La possibilità della citata operazione di confronto si esplicita attraverso la constatazione che l'intuizione dello spazio riconosce in Seg(R) l'esistenza di una relazione r di preordine totale naturale, collegata alla relazione d'ordine non totale d'inclusione (inclusione insiemistica, di origine perciò puramente "logica") e al concetto di traslazione. Un segmento sarà minore o uguale di un segmento se esiste una traslazione t di R tale che t () è incluso in , mentre naturalmente una traslazione di R rimane definita come una particolare corrispondenza biunivoca t di R in sé (o, se si preferisce, un automorfismo di R in SO; si fissi adesso arbitrariamente un verso di R), che induce un morfismo d'ordine (automorfismo) anche in Seg(R): £ Þ t () £ t (), per ogni coppia di segmenti di R. Cioè preordine totale naturale su Seg(R) e traslazioni sono concetti strettamente interconnessi, uno definisce l'altro, senza possibilità, ci sembra, di poter decidere quale dei due "venga prima". Dovendo scegliere, ci piace pensare che la nostra mente "veda" nel gruppo Aut_SO(R) un sottogruppo strettamente 1-transitivo grazie a cui effettua il riconoscimento di chi tra due segmenti sia "più piccolo" di un altro, sed de hoc satis.

La relazione di preordine appena descritta non è manifestamente una relazione d'ordine, e induce conseguentemente su Seg(R) una relazione d'equivalenza non banale (per la quale nel linguaggio comune, e della geometria classica, si usa il termine uguaglianza, che rischia l'introduzione di un ulteriore fraintendimento, data l'affinità semantica tra uguaglianza e identità), che permette di costruire il relativo insieme quoziente S _R, i cui elementi diremo segmenti liberi (o astratti) di R. S _R possiede adesso una relazione d'ordine naturale, ma il bello è che esso ammette anche una struttura algebrica naturale, che era finora assente da tutti gli enti geometrici considerati (che erano soltanto sostegni di strutture d'ordine e topologiche). Si può definire infatti la somma di due segmenti liberi semplicemente giustapponendo due loro rappresentanti, prendendone l'unione insiemistica, e infine la relativa classe di equivalenza: un'operazione mentale che corrisponde evidentemente alla "somma" di due "cammini", se si vuol fare un analogo nello spazio. S _R è quindi il sostegno di un semigruppo (una struttura algebrica semplice la cui operazione richiediamo soddisfi unicamente la proprietà associativa) abeliano (additivamente scritto) alquanto particolare, che secondo noi riassume in sé tutte le proprietà geometriche delle quali abbiamo bisogno al fine di stabilire il procedimento di misura. Tale semigruppo risulta assai "simile" ad N, poiché è privo di elemento neutro, regolare, ordinato, archimedeo, etc., con alcune differenze però fondamentali. N è un discreto, S _R è un continuo; N ammette un minimo che genera l'intera struttura, S _R non ammette minimo e generatore; conseguenze del fatto che S _R viene ad essere concepito come un semigruppo divisibile (per ogni numero naturale n ed ogni segmento libero u, l'equazione nx = u ammette una e una sola soluzione x Î S _R), mentre N ovviamente non è divisibile.

Finalmente, in che modo si effettua la misura per i segmenti liberi della "retta spaziale" (ma la stessa cosa sarebbe dire dello "spazio", cfr. la nota 55)? Considerato l'insieme delle coppie ordinate di segmenti liberi di R, in simboli S _{R´ S R}, e due di tali coppie, (u,v), (u',v'), tutto sta nel definire una relazione d'equivalenza m _R in S _{R´ S R} che corrisponda all'idea linguisticamente espressa con le parole: u ha come misura rispetto a v la stessa di u' rispetto a v'.

La procedura logica è abbastanza naturale, tanto è vero che è la medesima utilizzata già da Euclide nel Libro V degli Elementi. Si itera u un certo numero arbitrario m di volte (m un elemento di N), analogamente v un certo numero n di volte, fino a produrre mu = u+u+... m volte, e nv = v+v+... n volte. Si fa altrettanto con u' e v' rispettivamente, in modo da produrre cioè pure mu' e nv'. Orbene, se risulta mu < nv, deve essere anche mu' < nv'; se risulta invece mu > nv, deve essere anche mu' > nv'; infine, se accade che sia mu = nv, deve essere anche mu' = nv'. Nell'ultimo caso u e v si dicono tra loro commensurabili, e la misura di u rispetto a v, in simboli = classe di equivalenza della coppia ordinata (u,v), si può rappresentare semplicemente con la frazione , e si dice un numero reale razionale (ribadiamo che consideriamo sempre, per il momento, numeri positivi).

Abbiamo ottenuto così che la totalità dei numeri reali positivi, indicata con il simbolo R⁺, è un ben preciso insieme quoziente di S _{R´ S R}, cioè: R⁺ Ì P(S _{R´ S R}), il relativo insieme delle parti (x = non significa altro che (u,v) Î x). Potremo proporre cioè l'identità:

R⁺ = S _{R´ S R}/m _R,

che individua R⁺ non soltanto a meno di isomorfismi, come sembrerebbe secondo taluni inevitabile. Volendo, sarebbe lecito scrivere anche (con leggero abuso di notazione) m _R : S _{R´ S R} ® R⁺, m _R((u,v)) essendo la misura di u rispetto a v (nient'altro che la classe di equivalenza di (u,v) rispetto a m _R). Vale a dire, i numeri reali positivi sono semplicemente frazioni geometriche, che hanno quali numeratore e denominatore degli elementi di S _R.

E' ovvio che si potrà porre 1 = , 2 = , etc., qualunque sia u, cioè che esiste un'immersione naturale di N in R⁺, non tale però da costringerci a considerare i numeri naturali un caso particolare di numeri reali (su ciò ritorneremo nel paragrafo 8). Analogamente, si porrà = , = , etc., ed ecco che anche Q⁺ si ottiene come un semplice sottoinsieme (proprio) di R⁺. Ma, ribadiamo, R⁺ "nasce" tutto intero, e non per generazione dal basso. Insomma, il verso giusto è top ® down, e non down ® top, la valenza filosofica delle due impostazioni (le suggestioni concettuali da cui dipendono) non sfuggirà di certo al lettore.

Per riassumere, dunque, un punto non è un segmento, un segmento non è un segmento libero, un segmento libero non è un numero (reale positivo). Un numero è una classe di coppie ordinate di segmenti liberi. Una volta introdotto il relativo insieme, i passi successivi (non tutti ugualmente agevoli) sono (senza badare alla sequenza logica naturale, e senza pretese di completezza): la dimostrazione di un "lemma chiave", per provare che, nell'insieme delle frazioni che rappresentano un dato numero reale, ce n'è sempre una (e una soltanto) con numeratore o denominatore fissati in modo arbitrario; l'introduzione di una struttura d'ordine totale in R⁺; l'introduzione di una struttura algebrica interna di somma e di prodotto tra numeri reali, e di un prodotto esterno tra numeri reali e segmenti; l'illustrazione di un isomorfismo (canonico) tra i gruppi Aut(S _R(+)) e R⁺(* ), il gruppo moltiplicativo di R⁺, gli automorfismi in parola essendo inerenti alla categoria di competenza, che è quella dei semigruppi abeliani regolari ordinati; l'illustrazione di un isomorfismo (non canonico) tra i due semigruppi additivi R⁺(+) e S _R(+); etc., fino a descrivere: il passaggio dai segmenti ai segmenti ordinati (orientati), e quindi dai segmenti liberi ai vettori; la somma di vettori come somma di cammini orientati (niente incomprensibile regola della diagonale, per cui si ricorre a volte a motivazioni ... fisiche); i numeri reali con segno quali rapporti di vettori, con denominatore non nullo; la regola dei segni -1* -1 = 1 (di solito esposta in maniera astratta, o assurda, prendendo il caso del prodotto ... di due debiti, o persino "intimidatoria"; il poeta Wystan Hugh Auden rammenta la canzoncina che gli insegnavano a scuola: "Minus times minus is plus / The reasons for this we need not discuss"); e così via, pervenendo da ultimo alla piena comprensione della struttura di campo ordinato archimedeo completo di R, all'introduzione degli spazi vettoriali reali V(R), ma anche V(P) e V(S), all'interpretazione della dimensione geometrica mediante il concetto di base lineare, alla dimostrazione dell'isomorfismo (canonico) tra il gruppo abeliano additivo V(R)(+) e il gruppo abeliano moltiplicativo delle traslazioni di R, etc.. Le "coordinatizzazioni cartesiane" stabiliranno un insieme di isomorfismi (in SO) tra retta ordinaria (orientata) ed insieme dei numeri reali R, due insiemi che, pur risultando isomorfi, non saranno però canonicamente isomorfi: nessuna delle coordinatizzazioni di R può dirsi privilegiata rispetto a un'altra. La confusione corrente tra spazio ordinario (geometrico) S e spazio numerico R³ (da stabilire poi se affine o vettoriale), è un ulteriore sintomo dell'attuale decadenza della "consapevolezza geometrica".

Ecco così rapidamente delineate le strutture portanti di un "programma" di Geometria, che non è seguito in nessun corso di cui sappiamo (tanto meno oggi con "modulini" tenuti da "professorini" diversi, perciò sostanzialmente "incoerenti" tra di loro; tutti sembrano poi avere premura di parlare di tensori di curvatura, gruppi di omotopia, invarianti delle varietà algebriche, saltando a pie' pari le "basi"), né in nessun libro che conosciamo.

Prima di procedere oltre, sarà bene dedicare qualche commento a modi alternativi di introdurre il fondamentale concetto illustrato nel paragrafo precedente. E' ben noto come, verso l'ultimo terzo dell'Ottocento, sulla spinta delle interpretazioni metageometriche dell'"esistenza" di geometrie non euclidee, alcune "scuole", diventate presto maggioritarie, abbiano cercato di eliminare dalla nozione di numero reale ogni riferimento a proprietà ed enti di natura geometrica, considerati questi provenienti da un "momento intuitivo e vago della fondazione". Dopo una (conseguente e coerente) accentuazione del riduzionismo, concretizzatasi in una fase di "logicizzazione" della stessa aritmetica, tale tendenza fu la necessaria premessa ideologica all'enunciazione prima, e all'affermazione poi, del punto di vista denominato "formalista" nei fondamenti della matematica, che va addirittura al di là del monofondamento aritmetico, e costituisce ancora oggi la principale filosofia della matematica.

Nelle parole successive è chiaramente enunciato il programma della cosiddetta "aritmetizzazione dell'analisi": "concepire i numeri reali come strutture concettuali, invece che come grandezze intuitive ereditate dalla geometria euclidea". Un numero reale irrazionale diventa, secondo la visione aritmetizzante, o una particolare coppia ordinata di insiemi di numeri razionali (le lacune, o sezioni, di cui si diceva nel paragrafo 4), o una classe di equivalenza di particolari successioni di tali numeri, insomma qualcosa che presuppone a fondamento della propria "esistenza" un concetto di numero "più semplice" (con l'effetto, tra l'altro, che non si può a rigore neppure stabilire la relazione di inclusione Q Ì R, che invece nel nostro approccio è pienamente giustificata), laddove nella genesi geometrica da noi illustrata i numeri razionali "nascono" insieme ai numeri irrazionali senza alcuna differenza di "specie" tra i due tipi di grandezze.

L'intento "riduzionista" delle costruzioni in oggetto è evidente: secondo Corrado Mangione si tratta di "sostituire al continuo geometrico il continuo "aritmetico"" (loc. cit. nella nota 10, p. 361 corsivo nel testo; notiamo per inciso che l'espressione "continuo aritmetico" non ha per noi nessun senso). L'autore menzionato cita poi con compiacimento Bertrand Russell, quando ne I princìpi della matematica sostiene il seguente discutibile punto di vista, espressione di un rozzo e superficiale anti-kantismo.

"Si supponeva un tempo, e qui sta la vera forza della filosofia della matematica di Kant, che la continuità avesse un riferimento essenziale allo spazio e al tempo [...] Secondo quest'ipotesi la filosofia dello spazio e del tempo precedeva quella della continuità [...] Tutto ciò è mutato per opera dei matematici moderni. Ciò che si chiama l'aritmetizzazione della matematica ha fatto vedere che tutti i problemi presentati, a questo riguardo, dallo spazio e dal tempo, sono già presenti nell'aritmetica pura. [...] [Sicché risulta ora possibile] dare una definizione generale di continuità, senza fare appello a quella massa di pregiudizi non analizzati che i kantiani chiamano "intuizione"" (cap. XXXII).

Quello che segue è un esempio dell'usuale interpretazione del lavoro di Dedekind.

"In the introduction to this paper he points out that the real number system can be developed from the natural numbers: "I see the whole of arithmetic as a necessary, or at least a natural, consequence of the simplest arithmetical act, of counting, and counting is nothing other that the successive creation of the infinite sequence of positive whole numbers in which each individual is defined in terms of the preceding one"".

Quest'unica "intuizione discreta" (tale è manifestamente il passaggio al "successivo"), cioè l'iterazione, sarebbe dunque a fondamento del continuo geometrico. Con riferimento alla concezione del matematico tedesco di un numero irrazionale quale una sezione del campo razionale, val la pena di sottolineare allora che la stessa precisa idea si trova già ... in Euclide! Né poteva essere altrimenti, dal momento che l'oggetto del pensiero che si sta descrivendo, cioè la retta geometrica R, è sempre lo stesso. Data infatti una coppia ordinata (u,v) di segmenti liberi corrispondente a un dato numero irrazionale, l'insieme N´ N delle coppie ordinate di numeri naturali si ripartisce esattamente nell'insieme formato dalle coppie (m,n) tali che mu < nv (i.e., il "numero razionale" > appartiene alla classe superiore della sezione costituita dal numero irrazionale ), e dal suo complementare, ossia l'insieme delle coppie (m,n) tali che mu > nv (mu non potrà mai uguagliare nv per ipotesi).

La quinta definizione del libro V degli Elementi di Euclide collega precisamente la misura di u rispetto a v con la menzionata "sezione" di N´ N, nel senso che due coppie ordinate di segmenti tra loro incommensurabili individuano lo stesso numero irrazionale se e soltanto se ad esse rimane associata la medesima sezione. In termini per noi oggi più chiari, si può stabilire una corrispondenza naturale F tra (S _{R´ S R})' (simbolo con cui indichiamo il sottoinsieme di S _{R´ S R} costituito dalle coppie di segmenti tra loro incommensurabili) e l'insieme delle sezioni di N´ N, chiamiamolo Sez(N´ N), e la relazione di equivalenza m _R non è altro che quella associata alla funzione F . Ne deriva che esiste un'immersione naturale dell'insieme dei numeri irrazionali in Sez(N´ N), mentre, viceversa, il fatto che la funzione in parola sia pure suriettiva (ogni sezione corrisponda a un numero irrazionale), e quindi che F sia un isomorfismo (canonico), risulta una banale conseguenza di PC (per la verità, il caso inverso non è discusso esplicitamente in Euclide). Ovvero, i numeri reali secondo Euclide non sono esattamente le sezioni ma sono "isomorfi" alle sezioni, e l'autentica "origine" delle seconde rimane geometrica e non aritmetica. Con tale opinione siamo perfettamente in consonanza con alcune voci autorevoli citate nel seguente importante brano.

"Max Simon remarks (Euclid und die sechs plamimetrischen Bücher, p. 110), after Zeuthen, that Euclid's definition of equal ratios is word for word the same as Weierstrass' definition of equal numbers. So far from agreeing in the usual view that the Greeks saw in the irrational no number, Simon thinks it is clear from Eucl. V that they possessed a notion of number in all its generality as clearly defined as, nay almost identical with, Weierstrass' conception of it. Certain it is that there is an exact correspondence, almost coincidence, between Euclid's definition of equal ratios and the modern theory of irrationals due to Dedekind" (corsivi nel testo).

Sentendoci quindi autorizzati a ritenere l'approccio aritmetizzante soltanto apparentemente diverso da quello naturale geometrico, sottolineiamo che nel paragrafo precedente abbiamo utilizzato la descrizione offerta da Euclide per la fondamentale equivalenza m _R in esame, che permette di stabilire quando due frazioni e sono uguali in termini dei segmenti che vi appaiono quali numeratori e denominatori. Pur non essendoci dubbi sulla correttezza contenutistica del procedimento che definisce in questa maniera l'insieme numerico dei reali (supponiamo ancora positivi), si potrebbe però volendo porre la questione se quella euclidea ne sia l'illustrazione più adeguata. Tale interrogativo venne formulato da Galileo Galilei, in un'opera pressoché ignorata. Verso i suoi ultimi anni, lo scienziato dedicò infatti un breve scritto al Libro V degli Elementi di Euclide, fornendo degli spunti di meditazione che, in quanto a filosofia della matematica, o, se si preferisce, a didattica della matematica, possono essere considerati attuali anche ai giorni nostri (o meglio, specialmente ai giorni nostri!). Sinteticamente, per Galileo è in primo luogo evidente che il problema relativo al quando due coppie di grandezze debbano considerarsi tra loro proporzionali, pur appartenendo alla sfera di quei concetti che sono da ritenersi alla base di atti comuni ad ogni umano intelletto ("avendo il lettore concepito già nell'intelletto che cosa sia la proporzione fra due grandezze [...] mi sforzerò di secondare con la difinizione delle proporzioni il concetto universale degli uomini anche ineruditi nella geometria"), non possa essere riconosciuto come un dato primitivo ("immediato"), e sia invece necessario discuterlo con attenzione. Inoltre, l'autore pensa che la definizione proposta da Euclide, ancorché logicamente ineccepibile, non risponda completamente alle esigenze di chiarezza inerenti all'importanza della questione. Tutti e tre i protagonisti del dialogo galileiano confessano in effetti tale insoddisfazione: Sagredo ("Questa e' una certa ambiguità che io o' sempre avuta nella mente intorno alla quinta difinizione del quinto libro d'Euclide [...] non restai con quella chiarezza che avrei desiderato nella predetta proposizione"); Simplicio ("Non ebbi mai il più duro ostacolo di questo in quella poca di geometria che io studiai già nelle scuole da giovanetto"); e infine lo stesso Salviati-Galileo ("Io poi confesso che per qualche anno dopo aver istudiato il V libro d'Euclide, restai involto con la mente nella stessa caligine"). Lo scienziato pisano applica allora alla definizione euclidea di proporzione un criterio che dovrebbe essere tenuto sempre presente (non solo in matematica), relativo alla necessità di operare una distinzione tra asserzioni le quali, pur "logicamente equivalenti", si presentino in una sequenza temporale naturale in momenti diversi della riflessione razionale, tanto da potersi considerare l'una come una derivazione dell'altra, ma non viceversa.

"Per dare una difinizione delle suddette grandezze proporzionali la quale produca nell'animo del lettore qualche concetto aggiustato alla natura di esse grandezze proporzionali, dovremmo prendere una delle loro passioni, ma però la più facile di tutte e quella per appunto che si stimi la più intelligibile anco dal volgo non introdotto nelle matematiche [...] Così fece Euclide stesso in molt'altri luoghi. Sovvengavi che egli non disse, il cerchio essere una figura piana, dentro la quale segandosi due rette, il rettangolo sotto le parti dell'una sia sempre uguale al rettangolo sotto le parti dell'altra; ovvero, dentro la quale tutti i quadrilateri abbiano gli angoli opposti uguali a due retti. Quand'anche così avesse detto, sarebbero state buone difinizioni: ma mentre egli sapeva un'altra passione del cerchio, più intelligibile della precedente e più facile da formarsene concetto, chi non s'accorge che egli fece assai meglio a mettere avanti quella più chiara e più evidente come difinizione, per cavar poi da essa quell'altre più recondite e dimostrarle come conclusioni?".

Galileo si pone insomma, in relazione alla definizione V del Libro V degli Elementi di Euclide, sostanzialmente le stesse domande che più tardi formulerà in analoga circostanza De Morgan:

"What right had Euclid, or any one else, to expect that the preceding most prolix and unwieldy statement should be received by the beginner as the definition of a relation the perception of which is one of the most common acts of his mind, since it is performed on every occasion where similarity or dissimilarity of figure is looked for or presents itself? If the preceding question should be clearly answered, how can the definition of proportion ever be used; or how is it possible to compare every one of the infinite number of multiples of A with every one of the multiples of B?".

Ma mentre De Morgan cercò soprattutto di chiarire, e quindi di giustificare, l'approccio euclideo alla questione, Galileo propose una propria definizione di uguali proporzioni da opporre a quella dell'antico maestro. Non possiamo qui entrare in dettaglio su come Galileo "ritenne di correggere dal punto di vista didattico-intuitivo la definizione V". Basterà dire che egli illustra un procedimento che rimanda chiaramente, secondo noi, al concetto di "frazione continua", ma ciò che rimane degno di nota è il fatto che egli fu spinto ad operare tale correzione, e che il suo tentativo stimola noi a distanza di secoli a comprendere le motivazioni che lo ispirarono (e ad imitare il suo coraggio nel discutere i "tabù" del proprio tempo - Zeitgeist). Così, vengono alla mente altre possibili descrizioni geometriche della relazione d'equivalenza m _R, diverse sia da quella di Euclide sia da quella di Galileo. Accenniamo soltanto alla possibilità di appoggiarsi per la definizione di uguale proporzione alla geometria del piano (all'immersione cioè di R nel piano ordinario P) e al "teorema di Talete", che diverrebbe sotto questa prospettiva un criterio di proporzionalità e non un teorema.

(Figura 3)

La situazione dovrebbe essere trascendentalmente chiara. Date tre rette parallele R, S, T, e una comune perpendicolare P, si considerano i due segmenti e su P ( < ), e due segmenti arbitrari e su R (tali però che < ,

> , > ). Ci si chiede quando sussiste la relazione di proporzionalità : = : . Basta riportare b' su S, ottenendo b'' (b'' è tale cioè che

º ), tracciare la retta Q per a e b'', prendere l'intersezione c'' tra Q e T. La proporzione è soddisfatta, per definizione, se, e soltanto se, c'' coincide con il punto che si ottiene riportando c' su T (ossia, º ). Non è difficile dimostrare che questo criterio "puramente geometrico" (e forse più vicino di tutti gli altri discussi a uno dei "most common acts" dell'intelletto umano) implica quello di Euclide, e ovviamente viceversa.

Con un siffatto approccio "statico", contrapposto al metodo che si potrebbe dire "dinamico" sia di Euclide che di Galileo, si esce dalla geometria della retta (che deve del resto essere concepita parte di un successivo momento di astrazione), per porre la questione dei fondamenti in relazione alle proprietà intuitive della geometria del piano (direttamente legate ai processi mentali attraverso il meccanismo della visione). Si ritrova per tale via, quale conseguenza abbastanza inaspettata, almeno per chi sia cresciuto nutrito dai "dogmi" del pensiero scientifico moderno, che la teoria delle parallele e il famoso V postulato di Euclide, più che l'aritmetica e la logica, giocano un ruolo importante anche nella genesi naturale del concetto di numero come misura. Una simile conclusione suggerisce un'ulteriore parentesi dedicata alle geometrie non euclidee, che sicuramente aleggiano a guisa di fantasmi dietro tutte le nostre considerazioni, smontandone a priori la stessa proponibilità.

Prima di presentare la costruzione "gemella" di quella del paragrafo 5, cioè nel caso del tempo anziché dello spazio, operiamo l'annunciata incursione in un ambito alquanto lontano da quello oggetto della nostra indagine fondazionale, che risulterà però viepiù interessante, o almeno lo si spera, in quanto avrà l'effetto di evidenziare, come annunciato, alcuni dei motivi per cui riteniamo "non adeguata" la descrizione proposta da Hilbert nei Grundlagen der Geometrie(1899).

Rammentiamo che Hilbert introduce tre tipi di oggetti (punti, rette, piani), e che divide gli assiomi in 5 gruppi. Il primo consiste degli "Assiomi di collegamento" (o di appartenenza o di incidenza), il secondo comprende gli "Assiomi di ordinamento", il terzo gli "Assiomi di congruenza" (per segmenti e angoli). Nel quarto è presente un unico assioma, relativo al parallelismo, mentre nel quinto si trovano infine i cosiddetti "Assiomi di continuità" (il postulato di Archimede e quello che abbiamo chiamato di completezza nel paragrafo 5).

Il parallelismo assume quindi una collocazione del tutto a parte dagli altri assiomi, laddove si può invece secondo noi sostenere che esso appartiene agli assiomi di congruenza e continuità (un unico gruppo di assiomi), che dovrebbero peraltro stabilire quale punto di partenza l'esistenza della relazione di preordine naturale tra segmenti dello spazio ordinario di cui abbiamo parlato.

La forma del "V postulato di Euclide" che abbiamo in mente è suggerita da un'antica sua ... dimostrazione, che ci viene riferita da un commentatore arabo del IX secolo, al-Nirizi, il quale la riprende da un certo Aganis, un matematico greco sicuramente successivo a Proclo, di cui non sappiamo nulla di più.

Il disegno che segue schematizza il facile ragionamento che "dimostra", a nostro parere, perché l'intelletto umano "vede" il punto di intersezione tra la retta R e la semiretta T (R è una qualsiasi retta del piano ordinario, a un suo punto, P la perpendicolare ad R uscente da a, b un qualsiasi punto su P, distinto da a, S la perpendicolare a P uscente da b, T diciamo una semiretta, con vertice in b, "interna" alla semistriscia di cui in figura).

(Figura 4)

Esplicitiamo la semplice argomentazione. Sia x un qualsiasi punto della semiretta T, e x' la sua proiezione perpendicolare su P. Sia y un punto su T, susseguente ad x nel verso naturale di T (adesso esiste un unico verso naturale di T, che è una semiretta), tale che il segmento sia uguale al segmento , e sia ancora y' la proiezione perpendicolare di y su P. "E' chiaro" che, così procedendo, si ottiene una successione di segmenti contigui di P, , , ..., la cui unione, per il postulato di Archimede, finirà a un certo momento per contenere il segmento . Come dire che esisterà un punto su P, nella figura è stato indicato con z', tale che É . z' risulterà naturalmente la proiezione perpendicolare di un certo punto z Î T, ossia la perpendicolare per z' a P interseca T in z. La conclusione deriva dall'osservare che la retta R deve allora anch'essa intersecare la retta T (nella figura il relativo punto è stato indicato con c), dal momento che, "entrando" nel triangolo z'zb, essa ne deve pure "uscire".

Facile comprendere perché la precedente dimostrazione non funzioni nel caso di una geometria non euclidea (iperbolica). Pur essendo i segmenti , , ... "uguali" (congruenti) per costruzione, non risultano tali le loro proiezioni perpendicolari su P, , , ..., anzi esse andranno forse (quando T non interseca R) progressivamente riducendosi in modo che la "serie" È È ... converga (senza superare ), e non diverga. Facile pure comprendere però quale sia il "postulato" sottinteso che la mente umana applica nel riconoscere (anche inconsciamente) la validità del menzionato ragionamento. L'operazione di proiezione perpendicolare è compatibile con il preordine naturale dei segmenti (e quindi in particolare trasforma coppie di segmenti "uguali" in coppie di segmenti "uguali"). In parole più sofisticate, ecco il "V postulato" come si potrebbe-dovrebbe enunciare.

Assioma della parallela. Date due rette incidenti R e S (come in figura), detta

p : S ® R la proiezione perpendicolare della seconda sulla prima, p è un morfismo d'ordine (una volta che si siano scelti su R ed S versi "concordi") che induce un'applicazione p° tra Seg(S) e Seg(R), la quale è pure un morfismo d'ordine (rispetto al preordine naturale di cui sono dotati tali insiemi).

(Figura 5)

Ossia, dati i quattro punti x, y, z, t su S come in figura, dalla £ si deve poter dedurre, posto x' = p(x) etc., p°() = £ p°() = .

Riteniamo infatti il precedente asserto propriamente inerente alla "natura" della retta, che non è soltanto la linea più breve tra due punti. E' appena il caso di aggiungere che, dato un segmento Î Seg(S), si ha necessariamente:

p°() = < ,

e che il rapporto tra p°() e è una costante che definisce il coseno dell'angolo a tra R ed S. Nel caso invece di una geometria iperbolica, avente curvatura K = , la precedente disuguaglianza rimane valida (la "contrazione" di una proiezione perpendicolare è un "teorema assoluto"), ma la relazione tra segmento proiettante e proiettato diventa assai più complicata. Se indichiamo con a il punto di intersezione tra S ed R, e con x , h le rispettive misure dei segmenti , rispetto a una comune unità di misura, sussiste, come noto, l'identità: tgh() = tgh()* cos(a ), e se si raddoppia per esempio x , non risulta conseguentemente raddoppiato h (potremmo dire che una "retta" della geometria iperbolica non è "lineare"), la differenza tra tgh() e tgh()* cos(a ) riuscendo uguale alla seguente complicata espressione:

tgh() - - tgh()* cos(a ) + * cos(a ) =

= * cos(a ) - .

Abbiamo riportato in maniera estremamente sintetica le nostre osservazioni, ma speriamo siano state lo stesso sufficienti a "illuminare" su possibili modi diversi di trattare l'intera questione dei "fondamenti della geometria".

In conclusione della parte "tecnica" del presente lavoro ci occupiamo del caso dell'aritmetica, e quindi, in accordo con il nostro punto di vista, del tempo, considerando pertanto per ultimo ciò che in realtà viene per primo, conformemente all'osservazione di Heidegger:

"Tutto ciò che è in senso essenziale [...] si mantiene ovunque nascosto quanto più a lungo possibile. Nondimeno, rispetto al suo vigere dispiegato, esso rimane quello che viene prima di tutto, cioè il più principale [...] ciò che, rispetto al suo sorgere e imporsi, è primo diventa manifesto solo più tardi a noi uomini. All'uomo, l'origine principale si mostra solo da ultimo".

E' evidente ormai in che modo si possono costruire i perfetti analoghi dei ragionamenti presentati nel paragrafo 5 a partire però dalla retta temporale Q , che è uno spazio discreto (senza minimo e senza massimo), i cui elementi sono gli "istanti" (o "monadi di tempo").

Apriamo una breve parentesi per dire che siamo ben consapevoli che l'opinione secondo la quale l'intuizione del tempo sia discreta non è universalmente condivisa, ciò nonostante essa ci sembra l'unica soluzione possibile tenuto conto dell'"esperienza mentale", e di conferme offerte implicitamente dal linguaggio comune, in cui è lecito parlare di "istante successivo", mentre non ha alcun senso ovviamente parlare di "punto successivo" a uno dato. Possiamo iniziare una panoramica di illustri opinioni contrarie alla nostra cominciando da quella di Aristotele:

"risulta necessario che anche il tempo sia continuo" (Fisica, VI, 4),

passando poi per Bernhard Bolzano:

"Si deve, certo, convenire che due istanti qualsiasi sono separati da un insieme infinito di istanti tra essi compresi",

e terminando con Hermann Weyl:

"Esempi particolarmente importanti di sistemi continui sono lo spazio e il tempo".

Replichiamo in breve dicendo solamente che riteniamo simili pareri conseguenti a una "confusione" delle due forme spazio e tempo in una sola, come accade per esempio soprattutto in fisica (nella "pratica" della fisica), tramite la definizione di velocità. Essendo infatti questa grandezza uguale a spazio/tempo, ecco che sembra possibile derivare l'identità spazio = tempo, quando si ponga la velocità uguale a 1. La conseguenza è che entrambi i termini vengono allora concepiti a tutti gli effetti riducibili (in quanto risultati di "misure") all'unico concetto di numero reale, dimenticando però in tal guisa: primo, che qualunque risultato di misura non può che essere un numero razionale; secondo, che se potrebbe avere senso parlare di una misura spaziale uguale a , o a p , ecco che appare assai meno sensata una frase del tipo "vediamoci fra p minuti".

In altre parole, è usuale imbattersi nella pretesa che R e Q siano "isomorfi" (come spazi ordinati), mentre la considerazione di un simile isomorfismo conduce secondo noi a manifesti "paradossi", tra i quali sono rimasti famosi nella storia della filosofia quelli di Zenone.

Lasciando da parte tale pur importante questione, procediamo con la costruzione che abbiamo in vista. Si introdurrà, speculare a Seg(R), l'insieme Seg(Q ), facendo bene attenzione al fatto che un segmento temporale (se si preferisce: intervallo) dovrà contenere almeno due istanti, i suoi estremi, che rappresentano l'inizio e la fine di un qualsiasi "atto" (soprattutto: di pensiero). Anche adesso Seg(Q ) risulta il supporto di una struttura naturale di preordine totale, la cui interpretazione è immediata: poiché ogni segmento temporale consiste di un numero finito di istanti, il segmento , avente per estremi due istanti distinti a , b , sarà minore o uguale di un altro simile segmento se, e soltanto se, il numero (un numero naturale non inferiore a 2) degli istanti che lo compongono è minore o uguale del numero degli istanti che compongono .

E' chiaro quindi quale sia la relazione di equivalenza indotta su Seg(Q ) da tale relazione di preordine, e che cosa diventi infine il relativo insieme quoziente, che indicheremo ovviamente con il simbolo S Q . Questo insieme sarà uno spazio ordinato discreto avente minimo ma non massimo, una struttura naturale di semigruppo abeliano (additivo) compatibile con l'ordine, etc..

Insomma, in conformità alla filosofia che guida queste riflessioni, non si dovrebbe avere nessuna riserva nel proporre infine l'identità:

N = S Q .

Il procedimento di misura corrisponde attualmente all'individuazione di una relazione d'equivalenza m Q in S Q ´ S Q che abbia le caratteristiche prescritte dall'intuizione temporale. Non c'è bisogno delle complicazioni in cui quella spaziale si è imbattuta nel caso di S _R, dal momento che non esistono in S Q coppie di segmenti tra loro incommensurabili. Perciò, verosimilmente, il procedimento di misura relativo alla retta temporale resta quasi inavvertito, fino al punto che può rimanere addirittura "invisibile", e come tale pure, benché fondamentale, la presenza di Q . E' comunque palese che si ottiene adesso, in perfetta analogia con l'identità precedente:

Q⁺ = S Q ´ S Q /m Q .

Ecco quindi che i numeri razionali compaiono sotto due aspetti: quantità (o grandezze) di natura temporale e di natura spaziale, coerentemente del resto con la possibilità (inevitabile?!) di "immergere" la retta temporale nella retta spaziale, come mostrato nella seguente figura.

(Figura 6)

A partire da due punti distinti, arbitrariamente scelti, a e b, si considera la sequenza b', b'', dei punti tali che º º º ... , e l'analoga sequenza

-b, -b', -b'', ... dei punti "simmetrici" di quelli della prima rispetto al punto a. Si pensi se si vuole ad R ordinata nel verso in cui a precede b, cioè nella seguente figura da sinistra verso destra.

Si tratta di "banalità" sulle quali non insistiamo. Sottolineiamo invece che la differenza con il caso spaziale è evidente. Esiste adesso un minimo di S Q , l'unità, o "cronone". Essa genera per somma tutti i segmenti temporali (liberi). C'è quindi la possibilità di una "misura assoluta" di un segmento temporale, la misura rispetto a un cronone, che sarà sempre un numero naturale (un numero razionale "improprio"). Il cronone non è però l'istante, ed ecco spiegato (secondo noi) un equivoco perdurante. Quando si effettua la misura assoluta di un segmento temporale consistente di n istanti, il risultato non è n, bensì ... n-1, perché la somma di un segmento temporale costituito da m istanti con uno che ne contiene n, produce un segmento temporale consistente di m+n-1 istanti, e non m+n (come nel caso spaziale, per poter essere sommati due segmenti vanno traslati e pensati contigui, e quindi con un estremo in comune).

Sulla stessa linea di pensiero, nel momento in cui si va ad aggiungere al dato semigruppo S Q l'elemento neutro, lo zero, si deve procedere nel medesimo modo quando si aggiunge il vettore nullo a S _R. Esso è un'unica classe di equivalenza di coppie ordinate di punti di R, la "diagonale" D _R Ì R´ R, l'insieme di tutte le coppie ordinate "equivalenti" (x,x) (x un qualsiasi punto di R). Lo zero aritmetico sarà analogamente l'insieme di tutte le coppie (a ,a ), dove a è un qualunque istante. In altre parole, non si può effettuare la misura di un segmento temporale rispetto allo zero, che è un segmento temporale (libero) formato da un unico istante. Infatti, malgrado venga voglia di dire che il risultato di tale misura sia precisamente il numero naturale n di istanti contenuti in , la somma 0+0+... n volte fa sempre 0, e non .

Non ci dilunghiamo su una fenomenologia (dell'intelletto, e non dello spirito) che ciascuno può elaborare da sé senza alcuna difficoltà, in quanto essa è in effetti semplice e ... antica, in conformità all'opinione che ciò che è vero non può essere nuovo, e ciò che è nuovo non può essere vero. Ci preme semmai:

1 - Sottolineare che, se ci si riflette bene, non siamo di fronte a nessun "giro vizioso", del tipo rilevato da Hilbert allorché "liquidò il programma logicista senza batter ciglio", nel suo intervento al III congresso internazionale dei matematici svoltosi ad Heidelberg nel 1904, obiettando sostanzialmente "che il lungo e complicato sviluppo della logica comportava già la presenza dei numeri interi, anche se non li nominava espressamente; per questa ragione il tentativo di costruire il concetto di numero sulla logica si riduceva a un ragionamento circolare".

2 - Proporre un confronto tra la precedente costruzione e i tentativi di "riduzione" del concetto di numero naturale alla teoria degli insiemi, effettuati prima da Frege (un numero naturale come classe di insiemi finiti tra loro equipotenti), ma soprattutto da John (János, Johann) von Neumann.

Come ben noto, il secondo introdusse la serie degli "ordinali finiti" nel seguente modo:

0 = Æ ,

1 = { Æ } ,

2 = 1È { 1} = { Æ ,{ Æ } } = { Æ ,1} ={ 0,1} ,

3 = 2È { 2} = { Æ ,{ Æ } ,{ Æ ,{ Æ } } } = { Æ ,1,2} = { 0,1,2} ,

...

n + 1 = nÈ { n} = {0,….,n} ,

da cui, automaticamente, la catena di disuguaglianze:

0 < 1 < 2 < 3 < ...,

la quale si riduce non solo alla catena di inclusioni insiemistiche (i numeri sono insiemi!):

0 Ì 1 Ì 2 Ì 3 Ì ... ,

ma anche alla catena di appartenenze:

0 Î 1 Î 2 Î 3 Î ... .

"Il nostro scopo dimostrativo è ricavare l'uno da zero, in altre parole il tutto dal nulla [...] La riduzione dell'aritmetica alla teoria degli insiemi, e dunque dei numeri al nulla, è stata compiuta da Gottlob Frege nel 1884, e semplificata da John von Neumann nel 1923. [..] Non c'è però nessun motivo per fermare la potenza generativa del nulla, che costruisce gratuitamente sostanza a partire dalla pura forma [...] Ovviamente, una volta innescato, il processo esplode in un Big Bang numerico che prosegue senza sosta, generando via a via infinit[i] sempre più complicati, benché tutti riducibili in ultima analisi al nulla".