Una nuova interpretazione

del problema dei buoi di Archimede

conduce ad una soluzione finalmente "ragionevole"...

 

(Calogero Savarino - calogero.savarino@email.it)

 

«Calcola, o amico, il numero dei buoi del Sole, operando con cura, tu che possiedi molta scienza; calcola in quale numero pascolavano un giorno sulle pianure dell'isola sicula Trinacria, distribuiti in quattro gruppi di vario colore: uno di aspetto bianco latteo, il secondo splendente di color nero, il terzo poi di un bruno dorato ed il quarto screziato. In ogni gregge i tori erano in quantità considerevole, distribuiti secondo i rapporti seguenti: ritieni i bianchi come eguali alla metà ed alla terza parte di tutti i neri ed ai bruni; i neri poi eguali alla quarta parte ed alla quinta degli screziati e a tutti i bruni; i restanti screziati considerali poi come eguali alla sesta ed alla settima parte dei tori bianchi e di nuovo a tutti i bruni. Le giovenche invece erano distribuite nei rapporti seguenti: le bianche erano eguali precisamente alla terza e quarta parte di tutto il gregge nero; le nere alla quarta parte insieme alla quinta delle screziate prese assieme ai tori; le screziate erano precisamente eguali alla quinta parte ed alla sesta di tutti gli animali del gregge bruno; le brune poi vennero valutate eguali alla metà della terza parte ed alla settima parte del gregge bianco. Quando, o amico, avrai determinato esattamente quanti erano i buoi del Sole, avrai distinto quanti erano di ciascun colore, non ti si chiamerà certamente ignorante nè inabile nei numeri, però non ti si ascriverà peranco fra i sapienti. Ma ora bada bene a questi altri rapporti fra i buoi del Sole. Quando i tori bianchi mescolavansi ai neri formavano una figura equilatera, le vaste pianure della Trinacria erano allora tutte piene di buoi; invece i bruni e gli screziati costituivano una figura triangolare. Quando avrai trovato tutto questo e l'avrai esposto sotto forma intelligibile e avrai anche trovato il numero totale dei buoi, allora, o amico, va superbo per quanto hai fatto come un vincitore e sta sicuro di venire considerato come ricco di quella scienza».

 

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In un lavoro del 2004 ("Variazioni sul problema dei buoi di Archimede, ovvero, alla ricerca di soluzioni 'possibili'...", in collaborazione con Maria Cristina Vipera) mi sono occupato del celebre problema dei buoi di Archimede sopra riportato, e delle note difficoltà finora incontrate nel determinarne una soluzione "ragionevole" (che fosse cioè accessibile ad un antico greco non dotato dei moderni strumenti di calcolo elettronico).

 

Espressi allora l'opinione che Archimede non volesse proporre un problema di fatto insolubile, giocando una sorta di "beffa" ai suoi interlocutori, bensì che ci fossero stati errori nella tradizione del testo, che avevano reso l'enunciato iniziale ormai irriconoscibile. Esaminai allora nel menzionato articolo alcune "varianti" dell'interpretazione ortodossa, alcune delle quali degne di qualche attenzione.

 

A distanza di anni, una corrispondenza con Calogero Savarino (insegnante elementare in pensione, che vive a Ravanusa, in provincia di Agrigento) mi ha ricondotto ad interessarmi della questione che avevo ormai dimenticato, e portato alla convinzione che in effetti non tanto ad un errore di tradizione bisogna pensare, quanto piuttosto ad un errore di interpretazione. Il testo è infatti volutamente oscuro, proprio perché la sua esatta comprensione costituisse un problema precedente il problema matematico da affrontare.

 

Mi è sembrato che l'argomentazione e la soluzione proposte da Savarino siano degne di essere conosciute, ed acconsento pertanto con piacere a collaborare con lui in questa presentazione.

 

Perugia, 6 novembre 2010 - Umberto Bartocci

 

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Il problema di Archimede secondo l'interpretazione comune

 

Cominciamo con il dare la formalizzazione precisa del problema così come esso viene generalmente interpretato (con linguaggio e simbolismo "moderno"). Con A, B, C, D indichiamo il numero dei tori dei rispettivi 4 colori, bianco, nero, bruno, screziato. Con A', B', C', D' il numero delle mucche dei rispettivi sopraddetti colori (sicché A+A' = totale degli animali costituenti il gruppo bianco, etc.).

 

 

A = (+)B + C

B = (+)D + C

D = (+)A + C

A' = (+)(B+B')

B' = (+)(D+D')

C' = (+)(A+A')

D' = (+)(C+C')

 

Le ultime due condizioni quadratiche imposte da Archimede (che resteranno invariate nel presente scritto) sono rispettivamente:

 

A+B = numero quadrato

C+D = numero triangolare = 1+2+...+m =  Û 8(C+D)+1 = quadrato.

 

Entrambe si riducono quindi in definitiva alla richiesta che un dato numero sia un quadrato.

 

Il problema di Archimede secondo l'interpretazione di Savarino

 

Gli animali di cui parla Archimede sono ripartiti in QUATTRO distinte mandrie.

 

- La prima include i tori bianchi, più una parte dei tori bruni; diremo X il numero di questi, di modo che la quantità complessiva di buoi presente in tale mandria sia: A+ X.

 

- Nella seconda ci sono i tori neri, più ancora la stessa parte di tori bruni che in quella precedente, di modo che tale seconda mandria contiene: B+X buoi.

 

- Nella terza ci sono tutti i tori screziati e ancora tori bruni, ma il loro numero totale va calcolato suddividendo i tori screziati in due gruppi, i 9/20 di D e gli 11/20 di D, ciascuno dei quali contenente la stessa parte di tori bruni che nei due vasi precedenti, di modo che tale terzo gruppo sia insomma così costituito: (9D/20+X) + (11D/20+X).

 

Vale anche a dire che: C = 4X.<